リーマン予想の関連問題でClaudeが新記録 — 臨界線上の零点の下限を41.6%から67.2%へ

未公開の研究版Claudeが、リーマンゼータ関数の零点について新しい下限を示しました。臨界線上にある零点の割合の下限は、長く知られていた41.6%から67.2%へ更新されています。きっかけは、Anthropicのスタッフがリーマン予想そのものに挑ませたことでした。予想本体は解けていません。ただしその途中で、関連する問題に手が届いています。

数字で見る今回の結果

一言でいえば、未解決問題そのものではなく「その周辺で数十年かけて積み上がってきた定数」が、既存研究の組み合わせによって一気に動いた事例です。

リーマン予想と67.2% — 何の割合が動いたのか

更新されたのは「リーマンゼータ関数の非自明な零点のうち、臨界線上にあると証明できているものの割合の下限」です。リーマン予想とは、非自明な零点がすべて実部1/2の直線(臨界線)上にあるという主張で、1859年に提起されて以来だれも証明も反証もできていません。予想本体に対して、今回動いたのは「少なくとも何%までは言えるか」という下側の数字です。

ゼータ関数が記述するのは素数の分布です。零点の一つひとつが素数の並びに細かい情報を足していくため、零点がどこにあるかは数論の広い範囲に波及します。多くの結果がリーマン予想を仮定した上で成り立っています。

Claudeが書いた論文は、AnthropicがPDFで公開しています。同じ結果は、Levent AlpögeとRalph Furmanの名義でarXivにも投稿されています(arXiv:2608.13637)。arXivでの掲載題は「More than two thirds of the zeta zeros are simple and on the critical line」です。日本語にすると、ゼータ零点の3分の2以上は単純かつ臨界線上にある、という意味です。67.2%という数字は、この定理群のうち最適な窓関数を採用した場合の値にあたります。

形式化リポジトリの記述をもとに、主張と定数を並べると次のようになります。A〜Eはリポジトリ独自のラベルです。arXiv版の論文では、BとCがTheorem A(i)とA(ii)にあたります。Dはそれらと併記されたMontgomery–Taylor窓による改良、EがTheorem Bで、Aは付録Aに収められています。

定理Dでは、相異なる零点の割合についても0.83625…という下限が同時に得られています。

土台は3つあります。1973年にMontgomeryが導入した手法、それをリーマン予想の仮定なしで使えるようにした近年の研究、そして2000年のBombieriの論文です。近年の研究を担ったのは、Aryan、およびBaluyot・Goldston・Suriajaya・Turnage-Butterbaughです。Claudeが示したのは、これらを二次形式の階数に関する不等式のもとで束ねる方法です。正定値・負定値のどちらか一方に寄せず、両者を同時に勘定に入れたまま、二次形式を非対角にも許して空間全体を扱ったことが、既存研究から一段先へ進む鍵になりました。

650個の失敗から約60体の分業へ

約60体の内訳は、発表ページの脚注に示されています。

人間側の入力は、この間ほとんどが「keep going」「believe in yourself」といった励ましに限られていました。Claudeは最初、自分の進展に懐疑的でした。そこを越える助けになったのは、この種の後押しだったと発表ページは見ています。同じ種類の励ましを含む指示は、Claudeがヤコビアン予想を反証するときにも使われたと脚注にあります。

検証は人間とLeanで何が違うのか

検証は人間による読解と機械による形式化の2系統で走りました。両者が保証する範囲は重ならないので、どちらか一方では足りません。

公開後の2026年8月13日には、ブログに掲載されているPDF版が、証明をより明快にし歴史的な文脈を補った改訂版へ差し替えられています。この改訂を行ったのもClaude自身です。

Leanの形式化の中身

Claudeは別のスタッフであるEric Easleyと組んで形式証明を作り、anthropics/formal-math リポジトリの zeta23/ ディレクトリとして公開しました。リポジトリの記載によれば、Leanのコードは線形代数の土台部分まで含めて全量がClaudeの手によるものです。論文の著者2名はLeanを手書きせず、形式化を方向づけて出力を確認する側に回りました。Easleyは作業の進行役です。中身は、Lean 4とその標準数学ライブラリであるMathlibで、定理A〜Eを漏れなく形式化した内容です。議論が使う解析的な入力も、次の5つまで含めて証明されています。

• ゼータ関数とディリクレL関数に対するWeilの明示公式
• Riemann–von Mangoldtの零点計数公式
• Stirling型の評価
• Chebyshev–Mertensの素数和の評価
• Montgomery–Vaughanの一般化Hilbert不等式

定理A〜Eには、証明されていない仮説は付いていません。定理Eが取るのは、法q>1の原始指標という対象の条件だけです。手法の天井を扱う一群の定理は別で、後述の表示仮定が置かれています。使われているツールチェーンはLean v4.33.0-rc2、Mathlibのコミットも固定されています。手元で再検査する手順はリポジトリのREADMEにあります。Leanのツールチェーン管理ツールelanを導入したあと、zeta23/ ディレクトリで実行する形は次のとおりです。

cd zeta23   # Lakeプロジェクトはこのサブディレクトリにある
lake exe cache get   # 固定コミットのMathlibを取得
lake build           # 既定ターゲット(Zeta23 / Challenge / Solution)をビルド
lake build Solution.XiPrime   # ξ′拡張をビルド
lake env lean scripts/PrintAxioms.lean          # 定理A〜E(17個)の公理監査
lake env lean scripts/PrintAxioms/XiPrime.lean  # ξ′に関する定理(6個)の公理監査

READMEによると、正常に終わった場合の目印は2つです。declaration uses 'sorry' の警告が出るのは、信頼された命題ファイルだけです。Challenge.lean で17件、Challenge/XiPrime.lean で6件になります。公理監査は23行が出力され、どの行も depends on axioms: [propext, Classical.choice, Quot.sound] の形です。

必要な資源にも注意があります。Mathlibのビルド済みキャッシュは数GBで、取得に失敗するとソースからのビルドになり、CPU時間で数時間かかります。Comparatorをフルに回す scripts/verify-comparator.sh はLinux、Go、Rust/Cargo、Landlockのサンドボックスを必要とします。リポジトリ自体は「Research artifact」と明記され、保守も貢献の受け付けもしていません。

さらに、Lean FROが公開する検証ツールcomparatorの設定に、定理A〜Eが17個の命題として登録されています。Anthropicはこの形式化について、comparatorによる標準的な検証を通過していると書いています。証明を担う側(Solution)が、信頼された命題ファイル(Challenge)の17個の主張とまったく同じものを証明しているか、使う公理が標準の3つだけかまでを機械的に突き合わせられます。

論文の数字とリポジトリの数字がずれる場合

リポジトリには、論文と導出の経路が違う箇所があります。定理Cの5/6は、リポジトリでは階数とトレースの不等式をパラメータc=3で適用して得ています。READMEによれば、論文の本文は同じ5/6を別の経路(c=2)から導いています。また、リポジトリの初版(v1.0)は、Cauchy–Schwarz型の弱い形(単純かつ線上が1/2、相異なる零点が3/4、最適窓で0.50659…)を別の命題として置いていました。現行の定理B〜Eは、いずれもこれらを含意する強い形です。古い版のリポジトリや引用を読むときは、どの版の定数かを確かめる必要があります。

成果は定理A〜Eの外側にも及びます。完備ゼータ関数の導関数ξ′の零点のうち、虚部が(T, 2T]の範囲にあるものについて、単純かつ臨界線上にあるものが0.85838以上、相異なるものが0.92919以上と証明されました。いずれも平坦な窓関数での値で、4次の窓関数なら0.86864と0.93432になります。

60体構成は通常の運用と何が違うか

規模の桁が違うのは確かですが、構成そのものは既存の設計思想の延長線上にあります。目を引くのは3点です。

第一に、失敗を前提にした物量です。上の流れのとおり、全滅した1回目のあとに本数を増やして再挑戦しています。当たらない試行を捨てる前提で本数を積む形は、少数の精鋭を長く走らせる使い方とは対照的です。Claude Codeのサブエージェントは独立したコンテキストで動く性質があるので、この規模の並列が組めます。

第二に、生成と検証を別の主体に分けている点です。上の内訳のとおり、検証専任の13体は書き手と分かれています。書いた本人に検証させない構えは、オーケストレーター型の設計でメインを指揮に回すときの基本形と重なります。

第三に、探索の指揮そのものをモデルに任せた点です。数百体規模の並列を束ねるダイナミックワークフローのように、束ね方をモデルに委ねる運用に近い構成です。

一方で、この構成をそのまま日常の開発に持ち込めるかは別の話です。今回は数千回の数値チェックとLeanの形式化という、機械で答え合わせできる手段が揃っていました。検証が人手に戻る領域で同じ本数の試行を回せば、確認の負担は人間側に積み上がります。

リーマン予想の解決に近づいたわけではない

Anthropicは、今回の手法がリーマン予想の証明につながるとは考えていません。67.2%は下限であって、予想が要求するのは100%です。残りの3分の1弱を埋める道筋が見えたわけではありません。

この見通しには形式化側の裏づけもあります。リポジトリには、今回と同型の証明書が原理的にどこまで到達しうるかを示す定理群(PairCeiling/)が別に収められています。帯域幅1の証明書が単純な零点について保証できる割合は、0.6818287に小さな補正項を足した値を超えません。今回の67.2%はこの天井のすぐ手前にあり、帯域幅1の証明書に限れば、磨いても残りはわずかだと分かります。100%へ届くには、帯域幅を広げて素数対の情報を扱う必要があると論文は述べています。なお天井の定理群はcomparatorの検証対象ではなく、公理監査だけが付いています。

この一群の定理が置く表示仮定は、EnclOK と証明書の有効性です。EnclOK は、256個の形式因子が、記録された整数の区間に収まるという仮定です。区間は証明の外で区間演算により得られました。元になる有理数の証明書は、リポジトリではなく著者から入手する形です。そこから先の不等式はLeanのカーネルが検査しています。平均を取る最後の1行は論文側で行われ、Leanには入っていません。

近いところにあるのが、Claude Mythos Previewが暗号方式の数学的弱点を見つけた事例です。どちらも、専門家が長年見てきた対象に対してモデルが新しい結果を出し、その正しさの確認に人間側の時間がかかるという構図です。暗号の事例では、AES側の攻撃について、1週間で見つけたものの確認に研究者2名が約1か月を要しています。今回は人間の読解に加えて、Leanの形式化という機械的な確認手段が併走しました。

2026年9月に公開されたフェルマーの最終定理の形式化では、Leanのカーネルによる検証まで11日で到達しています。ただしそこでも、個々の定理が名前どおりの意味を持つかを判断する役目は人間に残ります。

研究支援そのものはClaude Scienceのワークベンチのように製品側でも進んでいます。今回の成果はその延長というより、汎用のコーディング環境で長時間走らせた結果として出てきた点に特徴があります。使われたのは未公開の研究版で、提供中のモデルではありません。

まとめ

数学の成果として追うなら、arXiv版と形式化の両方を見る必要があります。AIの使い方として読むなら、機械で答え合わせできる問題に試行の本数を積んだ、という条件の側に注目すると、自分の作業へ当てはめられるかを判断しやすくなります。