リーマン予想の関連問題でClaudeが新記録 — 臨界線上の零点の下限を41.6%から67.2%へ

未公開の研究版Claudeが、リーマンゼータ関数の零点について新しい下限を示しました。臨界線上にある零点の割合の下限は、長く知られていた41.6%から67.2%へ更新されています。きっかけは、Anthropicのスタッフがリーマン予想そのものに挑ませたことでした。予想本体は解けていません。ただしその途中で、関連する問題に手が届いています。

要点

• 下限が41.6%から67.2%へ: リーマンゼータ関数の非自明な零点のうち、臨界線上にあるものの割合の下限が更新されました
• 証明はLean 4で形式化済み: 定理証明支援系のLean 4を使い、anthropics/formal-math リポジトリの zeta23/ ディレクトリに未証明箇所を残さない形式化が公開されています。追加の公理も置いていません
• 経路はClaude Codeの2セッション: 出力トークンは合計3,100万。約60体のサブエージェントが1日半にわたって分業しました
• 人間の数学者が確認: Anthropic所属の数学者2名が内容を検証し、外部の専門家2名も短期間で目を通しています
• リーマン予想は未解決のまま: 今回の手法が予想本体の証明につながるとは考えていない、とAnthropicは述べています

一言でいえば、未解決問題そのものではなく「その周辺で数十年かけて積み上がってきた定数」が、既存研究の組み合わせによって一気に動いた事例です。

リーマン予想と67.2% — 何の割合が動いたのか

更新されたのは「リーマンゼータ関数の非自明な零点のうち、臨界線上にあると証明できているものの割合の下限」です。リーマン予想とは、ゼータ関数の非自明な零点がすべて実部1/2の直線(臨界線)上にあるという主張で、1859年に提起されて以来だれも証明も反証もできていません。100%を主張するのが予想本体で、今回動いたのは「少なくとも何%までは言えるか」という下側の数字です。従来の無条件の記録は、臨界線上かつ単純が5/12(41.6%)、相異なる零点が0.6603でした。今回はこの2つが同時に更新されています。

ゼータ関数が記述するのは素数の分布です。零点の一つひとつが素数の並びに細かい情報を足していくため、零点がどこにあるかは数論の広い範囲に波及します。多くの結果がリーマン予想を仮定した上で成り立っているのも、この波及の広さゆえです。

Claudeが書いた論文はAnthropicがPDFで公開しており、同じ結果がLevent AlpögeとRalph Furmanの名義でarXivにも投稿されています(arXiv:2608.13637)。arXivでの掲載題は「More than two thirds of the zeta zeros are simple and on the critical line」(ゼータ零点の3分の2以上は単純かつ臨界線上にある)です。67.2%という数字は、この定理群のうち最適な窓関数を採用した場合の値にあたります。形式化リポジトリの記述をもとに、主張と定数を並べると次のようになります。なお以下のA〜Eは形式化リポジトリ独自のラベルです。arXiv版の論文では、BとCがTheorem A(i)とA(ii)、Dはそれらと併記されたMontgomery–Taylor窓による改良、EがTheorem Bにあたり、Aは付録Aに収められています。

見出しの67.2%は定理Dの0.67250…を丸めた値です。この0.67250…は、単純かつ臨界線上にある零点の割合についても同じく成り立ちます。相異なる零点の割合については0.83625…という下限が同時に得られています。定理Eが示すように、結果はゼータ関数だけでなく原始ディリクレ指標のL関数にも及びます。

土台は3つあります。1973年にMontgomeryが導入した手法、それをリーマン予想の仮定なしで使えるようにした近年の研究、そして2000年のBombieriの論文です。近年の研究を担ったのは、Aryan、およびBaluyot・Goldston・Suriajaya・Turnage-Butterbaughです。Claudeの貢献は新しい道具の発明ではなく、これらを二次形式の階数に関する不等式のもとで束ねた点にあります。正定値・負定値のどちらか一方に寄せず、両者を同時に勘定に入れたまま、二次形式を非対角にも許して空間全体を扱ったことが、既存研究から一段先へ進む鍵になりました。

Claudeはどう到達したか

2回のClaude Codeセッション、出力トークンにして合計3,100万が費やされました。最初の指示は数学的な誘導をほとんど含みませんでした。Anthropicのスタッフ(数学者ではありません)であるJarred Sumnerが、リーマン予想に「本気で挑んでみてほしい」と伝えただけです。そこから先の数学的な選択は、モデルに委ねられています。

最初の650個のアイデアはすべて外れた

1回目のセッションでClaudeが生成して試したアイデアは650個。どれも通りませんでした。ここで打ち切らず、もう一度やってみるよう促したことが2回目につながっています。

2回目は約60体のサブエージェントで1日半

2回目のセッションでは、Claudeが約60体のサブエージェントを1日半かけて指揮しました。その間に実行されたシェルコマンドは2,400件、書かれたPythonスクリプトは数百本という規模です。サブエージェントどうしは既知のゼータ零点に対して数千回の数値チェックを走らせ、互いの成果を査読し合う形で進みました。

60体の内訳は公式の脚注に示されています。

目を引くのは、アイデアを出す側と、その正しさを確かめる側が別のインスタンスに分けられている点です。

人間側の入力は、この間ほとんどが「keep going」「believe in yourself」といった励ましに限られていました。Claudeは最初、自分の進展に懐疑的でした。そこを越える助けになったのが、この種の後押しだったようです。

結果を得たあとの動きも自発的でした。Claudeは複数のサブエージェントに証明を再検討させ、反例を探させ、同じ結果が既に出ていないかを確かめるためにarXivから54本の論文を取得し、さらに一から独立に証明をやり直させています。そのうえで論文としてまとめることを自ら申し出て、人間の数論研究者による検証を受けるよう勧めています。

検証は誰がどう行ったか

検証は人間による読解と機械による形式化の2系統で走りました。どちらか一方ではなく両方が付いている点が、この発表の実質的な重みになっています。

人間の数学者による確認

Anthropicの数学者であるLevent AlpögeとRalph Furmanの2名が、Claudeの成果と先行研究との関係を読み解きました。その成果が、証明を簡潔に述べ直した専門家向けの覚え書きです。arXivに投稿されている論文も、この2名の名義です。加えて、この領域の専門家であるBrian ConreyとDan Goldstonの2名が短い期間で論文に目を通しています。

なお公開後の2026年8月13日には、ブログに掲載されているPDF版が、証明をより明快にし歴史的な文脈を補った改訂版へ差し替えられています。この改訂を行ったのもClaude自身です。

Lean 4による形式化

もう一方の系統がLean 4による形式化です。Claudeは別のスタッフであるEric Easleyと組んで形式証明を作り、anthropics/formal-math リポジトリの zeta23/ ディレクトリとして公開しました。リポジトリの記載によれば、Leanのコードは線形代数の土台部分まで含めて全量がClaudeの手によるものです。論文の著者2名はLeanを手書きせず、形式化を方向づけて出力を確認する側に回りました。Easleyは作業の進行役です。中身は、Lean 4とその標準数学ライブラリであるMathlibで、定理A〜Eを漏れなく形式化した内容です。議論が使う解析的な入力も、次の5つまで含めて証明されています。

• ゼータ関数とディリクレL関数に対するWeilの明示公式
• Riemann–von Mangoldtの零点計数公式
• Stirling型の評価
• Chebyshev–Mertensの素数和の評価
• Montgomery–Vaughanの一般化Hilbert不等式

定理A〜Eの本体には、前提条件が付いていません。例外は手法の天井を扱う一群の定理で、こちらには後述の表示仮定が1つ置かれています。使われているツールチェーンはLean v4.33.0-rc2、Mathlibのコミットも固定されています。手元で再検査する手順はリポジトリのREADMEにあります。Leanのツールチェーン管理ツールelanを導入したあと、zeta23/ ディレクトリで実行する形は次のとおりです。

cd zeta23   # Lakeプロジェクトはこのサブディレクトリにある
lake exe cache get   # 固定コミットのMathlibを取得
lake build           # 既定ターゲット(Zeta23 / Challenge / Solution)をビルド
lake build Solution.XiPrime   # ξ′拡張をビルド
lake env lean scripts/PrintAxioms.lean          # 定理A〜E(17個)の公理監査
lake env lean scripts/PrintAxioms/XiPrime.lean  # ξ′に関する定理(6個)の公理監査

さらに、Lean FROが公開する検証ツールcomparatorの設定に、定理A〜Eが17個の命題として登録されています。Anthropicはこの形式化について、comparatorによる標準的な検証を通過していると書いています。証明を担う側(Solution)が、信頼された命題ファイル(Challenge)の17個の主張とまったく同じものを証明しているか、使う公理が標準の3つだけかまでを機械的に突き合わせられます。

成果は定理A〜Eの外側にも及びます。完備ゼータ関数の導関数ξ′の零点のうち、虚部が(T, 2T]の範囲にあるものについて、単純かつ臨界線上にあるものが0.85838以上、相異なるものが0.92919以上と証明されました。いずれも平坦な窓関数での値で、4次の窓関数なら0.86864と0.93432になります。

60体構成は通常の運用と何が違うか

規模の桁が違うのは確かですが、構成そのものは既存の設計思想の延長線上にあります。目を引くのは3点です。

第一に、探索の失敗を最初から設計に織り込んでいることです。60体のうち30体は新しいアイデアに届かず、その前段では650個のアイデアが全滅しています。当たらない試行を捨てる前提で本数を積む形は、少数の精鋭を長く走らせる使い方とは対照的です。Claude Codeのサブエージェントが独立したコンテキストで動くという性質が、この物量戦を成り立たせています。

第二に、生成と検証を別の主体に分けている点です。13体が検証専任で置かれ、反例探索や独立な再証明も別に走っています。書いた本人に検証させない構えは、オーケストレーター型の設計でメインを指揮に回すときの基本形と重なります。

そして、人間はほとんど何もしていません。1日半のセッションで投じられたのは、方向づけですらない励ましが中心でした。数百体規模の並列を束ねるダイナミックワークフローのように、束ね方そのものをモデルに委ねる運用に近い姿です。

一方で、この構成をそのまま日常の開発に持ち込めるかは別の話です。3,100万トークンという規模は、答え合わせのコストが極端に低い(数値チェックと形式化で機械的に確かめられる)問題だからこそ引き合った面があります。検証が人手に戻る領域では、同じ比率で失敗を積むほど確認側が詰まります。

リーマン予想の解決に近づいたわけではない

Anthropicは、今回の手法がリーマン予想の証明につながるとは考えていません。67.2%は下限であって、予想が要求するのは100%です。残りの3分の1弱を埋める道筋が見えたわけではありません。

この見通しには形式化側の裏づけもあります。リポジトリには、今回使われた種類の証明が原理的にどこまで到達しうるかを示す定理群が別に収められています。この筋の証明が単純な零点について保証できる割合は、最大でも0.6818287程度にとどまります。今回の67.2%はこの天井のすぐ手前にあり、同じ道具立てを磨いても残りはわずかだと分かります。100%へ届くには別の発想が要る ── それがここでは定理の形をとっています。なおこの一群の定理だけは、数値評価の結果を外部から与える表示仮定を1つ持ちます。

近いところにあるのが、Claude Mythos Previewが暗号方式の数学的弱点を見つけた事例です。どちらも、専門家が長年見てきた対象に対してモデルが新しい結果を出し、その正しさの確認に人間側の時間がかかるという構図です。暗号の事例では、AES側の攻撃について、1週間で見つけたものの確認に研究者2名が約1か月を要しています。今回は形式化という機械的な確認手段が使えたぶん、この非対称がやや緩んでいます。

研究支援そのものはClaude Scienceのワークベンチのように製品側でも進んでいます。今回の成果はその延長というより、汎用のコーディング環境で長時間走らせた結果として出てきた点に特徴があります。

よくある質問

リーマン予想は解けたのですか

解けていません。証明されたのは「零点のうち少なくとも67.2%は臨界線上にある」という下限で、リーマン予想が主張するのは100%です。予想は1859年から未解決のままです。

67.2%はどこから来た数字ですか

形式化リポジトリが定理Dと呼ぶ、Montgomery–Taylor窓を採用したときの下限0.67250…を丸めた値です。同じくリポジトリのラベルで定理A・Bにあたる、窓を最適化しない場合の値は2/3です。

今回使われたClaudeは一般に利用できますか

未公開の研究版であり、提供されているモデルではありません。作業自体はClaude Code上の2セッションとして行われています。

証明は査読を通ったのですか

学術誌の査読プロセスを経たという発表はありません。Anthropic所属の数学者2名が検証し、外部の専門家2名が短期間で確認したこと、そしてLean 4による形式化が公開されていることが、現時点で示されている裏づけです。

形式化されていれば正しいと言い切れますか

形式化が保証するのは「論文の主張がLeanの命題として書き下され、その証明が機械検査を通った」ことです。書き下した命題が意図した数学的主張と一致しているかは人間が読む必要があり、そのためにcomparatorの信頼された命題ファイルが別に置かれています。

まとめ

臨界線上の零点の下限は41.6%から67.2%へ動きました。論文はAnthropicが公開するPDFと、Alpöge・Furman名義のarXiv:2608.13637で読めます。形式化はanthropics/formal-math の zeta23/ にあります。この手法がリーマン予想そのものへの前進につながるとは、Anthropicも考えていません。

到達までの過程では、約60体のサブエージェントのうち半数が空振りに終わりました。13体は検証専任です。人間の数学者による確認とLean 4による形式化が、最終的な二重の裏づけになっています。到達までの過程を記録したトランスクリプトも公開されています。